Алексей Костин родился 15 марта 1911 г. в Лебедяни, в семье железнодорожника. После окончания средней школы уехал в Новосибирск. Там окончил институт народного хозяйства. В 1937 г. был призван в Красную Армию. Учился в артиллерийской школе. По истечению срока службы демобилизовался в запас в звании младшего лейтенанта.
Началась война и с августа 1941 г. Алексей Сергеевич снова в армии. Боевое крещение получил под Понырями на Курской дуге, где его орудия боролись с немецкими танками. За мужество и стойкость был награждён орденом Красной Звезды. Позже, участвовал в форсировании Днепра и захвате плацдарма на правом берегу.
В январе 1945 г. Костин и его батарея отличились в боях за город Бромберг, а в марте – в разгроме фашистской группы армий «Висла».
КОСТИН АЛЕКСЕЙ СЕРГЕЕВИЧ …стоял апрель сорок пятого. На территории Германии ведутся жесточайшие бои. 3-я ударная армия наступает на Берлин. 79-й стрелковый корпус под командованием генерала Перевёрткина получил приказ перерезать окружную автостраду германской столицы. Дивизии корпуса поддерживала 86-я тяжёлая гаубичная артиллерийская бригада. Комбриг полковник Сазонов приказал батарее капитана Костина выйти на автостраду.
С наступлением темноты артиллеристы снялись с места и уже к полуночи были у автострады северо-западнее Блюмберга. Едва успели перевалить за автостраду две гаубицы, как на дороге появились немецкие танки. Капитан Костин, быстро оценив обстановку, передал по рации: «Всем орудиям развернуться к автостраде, пропустить первые танки, а потом открыть огонь по хвосту и голове колонны».
Когда вражеская колонна оказалась между гаубицами, почти одновременно прогремели четыре выстрела, и сразу загорелись два танка. Остальные машины заметались из стороны в сторону, подставляя уязвимые места под огонь орудий. Через некоторое время всё стихло, уцелевшие танки отступили…
Перед рассветом батарея заняла огневые позиции, прочно перекрыв движение гитлеровцев по окружной автостраде.
Долго ждали наши войны этого часа, и вот он настал: ровно в 6:00 часов 21 апреля батарея Костина дала первый залп по железнодорожной станции Берлина Хайнерсдорф.
В конце апреля начался штурм Рейхстага. Капитан Костин был назначен начальником разведки дивизиона. Его наблюдательный пункт находился на чердаке здания швейцарского посольства, рядом с Рейхстагом. Корректируя огонь мощных гаубиц, Костин помогал стрелковым подразделениям шаг за шагом продвигаться вперёд.
За мужество и отвагу, проявленные при штурме Берлина, капитану Костину 31 мая 1945 г. было присвоено звание Героя Советского Союза.

 После войны Алексей Сергеевич продолжил службу в армии. В 1947 г. он окончил Высшую офицерскую артиллерийскую школу, 1955 г. – курсы усовершенствования офицерского состава. В 1956 г. подполковник Костин с должности заместителя командира полка уволился в запас. Жил в городе Калинине, а с августа 1971 г. – в Зеленограде.
12 ноября 1982 года г. Костин А.С. умер.

материал подготовил В.В. Гольтяев