Алексей Сергеевич Костин родился 15 марта (2 марта по ст. ст.) 1911 года, в семье крестьянина села Шовское Сергея Ивановича Костина и его жены Екатерины Васильевны. В то время отец работал на железной дороге, и Костины проживали в Пушкарской слободе на левом берегу Лебедяни, недалеко от железнодорожной станции.
На следующий день после появления на свет младенца покрестили в приходской Николаевской церкви. Восприемниками новорожденного стали: товарищ отца саратовский крестьянин Сергей Карпович Петров и лебедянская мещанка Анна Михайловна Плешкова.
В Лебедяни Алексей прожил с родителями до 1930 года. Окончив 9 классов средней школы, он сначала поступил на фабрику «Знамя Октября» в Москве, а в 1932 году поступил в Новосибирский институт народного хозяйства. Институт он окончил и даже был распределен в Новосибирский крайвнутторг, старшим экономистом. Но новые служебные обязанности пришлось исполнять недолго.
15 января 1936 года Алексея Сергеевича призвали в ряды Красной Армии. Учился в артиллерийской школе. По истечению срока службы демобилизовался в запас в звании младшего лейтенанта. С началом войны, с августа 1941 г. Алексей Сергеевич снова в армии. Боевое крещение получил под Понырями на Курской дуге, где его орудия боролись с немецкими танками. За мужество и стойкость был награждён орденом Красной Звезды. Позже, участвовал в форсировании Днепра и захвате плацдарма на правом берегу.
В январе 1945 г. Костин и его батарея отличились в боях за город Бромберг, а в марте – в разгроме фашистской группы армий «Висла».
…стоял апрель сорок пятого. На территории Германии ведутся жесточайшие бои. 3-я ударная армия наступает на Берлин. 79-й стрелковый корпус под командованием генерала Перевёрткина получил приказ перерезать окружную автостраду германской столицы. Дивизии корпуса поддерживала 86-я тяжёлая гаубичная артиллерийская бригада. Комбриг полковник Сазонов приказал батарее капитана Костина выйти на автостраду.
С наступлением темноты артиллеристы снялись с места и уже к полуночи были у автострады северо-западнее Блюмберга. Едва успели перевалить за автостраду две гаубицы, как на дороге появились немецкие танки. Капитан Костин, быстро оценив обстановку, передал по рации: «Всем орудиям развернуться к автостраде, пропустить первые танки, а потом открыть огонь по хвосту и голове колонны».
Когда вражеская колонна оказалась между гаубицами, почти одновременно прогремели четыре выстрела, и сразу загорелись два танка. Остальные машины заметались из стороны в сторону, подставляя уязвимые места под огонь орудий. Через некоторое время всё стихло, уцелевшие танки отступили… Перед рассветом батарея заняла огневые позиции, прочно перекрыв движение гитлеровцев по окружной автостраде.
Долго ждали наши войны этого часа, и вот он настал: ровно в 6:00 часов 21 апреля батарея Костина дала первый залп по железнодорожной станции Берлина Хайнерсдорф.
В конце апреля начался штурм Рейхстага. Капитан Костин был назначен начальником разведки дивизиона. Его наблюдательный пункт находился на чердаке здания швейцарского посольства, рядом с Рейхстагом. Корректируя огонь мощных гаубиц, Костин помогал стрелковым подразделениям шаг за шагом продвигаться вперёд.
За мужество и отвагу, проявленные при штурме Берлина, капитану Костину 31 мая 1945 г. было присвоено звание Героя Советского Союза.
После войны Алексей Костин продолжил службу в армии. В 1947 году окончил Высшую офицерскую артиллерийскую школу, а через семь лет – курсы усовершенствования офицерского состава. В 1956 году подполковник Костин демобилизовался и вернулся к своей мирной профессии. Работал в сфере торговли в городе Симферополе заместителем, а затем директором магазина. В 1971 году Алексей Сергеевич переехал на новое место жительства в город Зеленоград, где прожил до конца своей жизни. Неугомонный и энергичный Костин входил в состав Зеленоградского совета ветеранов. На заслуженном отдыхе добровольно и заинтересованно вел громадную работу по военно-патриотическому воспитанию молодежи, за что неоднократно награждался почётными грамотами президиума Зеленоградского ДОСААФ. До конца своих дней Алексей Сергеевич не забывал свою малую родину, вёл большую переписку с лебедянскими школьниками, ежегодно приезжал в Лебедянь для встреч с молодёжью.
12 ноября 1982 года после тяжёлой болезни Алексей Костин умер и был похоронен на Зеленоградском городском кладбище.
На родине А.С. Костина — в Лебедяни, увековечили имя своего земляка, чтят память о нем. В 1990 году на здании краеведческого музея, где в 1920-е годы размещалась школа, в которой учился Алексей Костин, была открыта мемориальная доска. Память о Герое зафиксирована и в подмосковном Зеленограде, на памятной табличке, установленной на стене многоквартирного дома № 618, в шестом микрорайоне города, где Алексей Сергеевич прожил два последних и мирных года своей жизни, с лихвой насыщенной великими событиями.
